4e · Révision

Le théorème de Pythagore

Un exemple corrigé pour chaque type d'exercice, puis un exercice pour toi.

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Collège Gaston Crochet
Type 1 sur 5

Écrire l'égalité de Pythagore

calculatrice autorisée
Exemple corrigé
Écris l'égalité de Pythagore pour chaque triangle.
Phrase cléUne seule égalité : hypoténuse² = côté² + côté²
a. L'angle droit est codé en N.
NMP
L'hypoténuse est en face de l'angle droit : c'est [MP].
MP² = MN² + NP²
L'hypoténuse est toute seule d'un côté du =.
b. L'angle droit est codé en R.
RST
En face de l'angle droit : [ST].
ST² = RS² + RT²
Piège ! RS² = ST² + RT² est faux : c'est l'hypoténuse qui est toute seule.
Ce qu'on écrit sur la copie
a.
Le triangle MNP est rectangle en N, donc MP² = MN² + NP².
b.
Le triangle RST est rectangle en R, donc ST² = RS² + RT².
ou appuie ailleurs pour passer à la suite
À toi

Écrire l'égalité de Pythagore

calculatrice autorisée
À toi
Écris l'égalité de Pythagore pour chaque triangle.
a.
EFG
b.
WUV
Cherche au brouillon, puis appuie pour voir la réponse.
Réponse
a. FG² = EF² + EG²
b. UV² = UW² + VW²
L'hypoténuse, en face de l'angle droit : a. [FG]   b. [UV]
Ce qu'on écrit sur la copie
a.
Le triangle EFG est rectangle en E, donc FG² = EF² + EG².
b.
Le triangle UVW est rectangle en W, donc UV² = UW² + VW².
Type 2 sur 5

Pas de codage, pas de Pythagore

calculatrice autorisée
Exemple corrigé
Écris, si c'est possible, l'égalité de Pythagore pour chaque triangle.
a.
IHJ
Il a l'air rectangle en I… mais il n'y a pas de codage.
Phrase cléPas de codage, pas de Pythagore !
Impossible : l'angle droit n'est pas codé.
On ne se fie jamais au dessin, même s'il a l'air juste.
b. L'angle droit est codé en Q.
QPR
PR² = PQ² + QR²
L'angle droit peut aussi être écrit dans l'énoncé : « le triangle PQR est rectangle en Q ».
Piège ! Pas d'équerre sur le dessin : sans codage, on écrit « impossible ».
Ce qu'on écrit sur la copie
a.
Impossible : l'angle droit n'est pas codé.
b.
Le triangle PQR est rectangle en Q, donc PR² = PQ² + QR².
ou appuie ailleurs pour passer à la suite
À toi

Pas de codage, pas de Pythagore

calculatrice autorisée
À toi
Écris, si c'est possible, l'égalité de Pythagore.
a.
DCE
b.
UTV
c. (sans figure) Le triangle JKL est rectangle en J.
Cherche au brouillon, puis appuie pour voir la réponse.
Réponse
a. CE² = CD² + DE²
b. Impossible : pas de codage.
c. KL² = JK² + JL²
c. « rectangle en J » est écrit dans l'énoncé : l'hypoténuse est [KL].
Ce qu'on écrit sur la copie
a.
Le triangle CDE est rectangle en D, donc CE² = CD² + DE².
b.
Impossible : l'angle droit n'est pas codé.
c.
Le triangle JKL est rectangle en J, donc KL² = JK² + JL².
Type 3 sur 5

Calculer l'hypoténuse

calculatrice autorisée
Exemple corrigé
Le triangle BCD est rectangle en C : BC = 21 cm et CD = 28 cm.
Calcule BD.
CBD21 cm28 cm?
1 · Je justifie l'angle droit  2 · Je nomme le théorème
Le triangle BCD est rectangle en C, donc d'après le théorème de Pythagore :
3 · J'écris l'égalité
BD² = BC² + CD²
L'hypoténuse [BD] est en face de l'angle droit : elle est toute seule d'un côté du =.
4 · Je remplace
BD² = 21² + 28²
5 · Je calcule
BD² = 441 + 784
le tout
BD² = ?
les parties
BC² = 441
CD² = 784
Phrase cléJe cherche le tout : j'additionne.
5 · Je calcule (suite)
BD² = 1225
6 · Je prends la racine carrée
BD = √1225
√ sur la calculatrice : 2nde puis x².
7 · Je conclus
BD = 35 cm
Piège ! On additionne les carrés, pas les longueurs : BD n'est pas 21 + 28 !
Ce qu'on écrit sur la copie
Le triangle BCD est rectangle en C, donc d'après le théorème de Pythagore :
BD² = BC² + CD²
BD² = 21² + 28²
BD² = 441 + 784
BD² = 1225
BD = √1225
BD = 35 cm
ou appuie ailleurs pour passer à la suite
À toi

Calculer l'hypoténuse

calculatrice autorisée
À toi
Le triangle LMN est rectangle en M : LM = 33 cm et MN = 44 cm.
Calcule LN.
MLN33 cm44 cm?
Cherche au brouillon, puis appuie pour voir la réponse.
Réponse
LN = 55 cm
le tout
LN² = ?
les parties
LM² = 1089
MN² = 1936
Phrase cléJe cherche le tout : j'additionne.
Ce qu'on écrit sur la copie
Le triangle LMN est rectangle en M, donc d'après le théorème de Pythagore :
LN² = LM² + MN²
LN² = 33² + 44²
LN² = 1089 + 1936
LN² = 3025
LN = √3025
LN = 55 cm
Type 4 sur 5

Calculer un autre côté

calculatrice autorisée
Exemple corrigé
Le triangle RTV est rectangle en T : RV = 65 cm et RT = 39 cm.
Calcule TV.
TRV65 cm39 cm?
1 · Je justifie l'angle droit  2 · Je nomme le théorème
Le triangle RTV est rectangle en T, donc d'après le théorème de Pythagore :
3 · J'écris l'égalité
RV² = RT² + TV²
L'hypoténuse [RV] est en face de l'angle droit : elle est toute seule d'un côté du =.
4 · Je remplace
65² = 39² + TV²
5 · Je calcule
4225 = 1521 + TV²
C'est une addition à trou : il manque TV².
le tout
RV² = 4225
les parties
RT² = 1521
TV² = ?
Phrase cléJe cherche une partie : je soustrais.
5 · Je calcule (suite)
TV² = 4225 − 1521
TV² = 2704
6 · Je prends la racine carrée
TV = √2704
√ sur la calculatrice : 2nde puis x².
7 · Je conclus
TV = 52 cm
Piège ! On cherche une partie : 4225 + 1521, c'est faux. On soustrait !
Ce qu'on écrit sur la copie
Le triangle RTV est rectangle en T, donc d'après le théorème de Pythagore :
RV² = RT² + TV²
65² = 39² + TV²
4225 = 1521 + TV²
TV² = 4225 − 1521
TV² = 2704
TV = √2704
TV = 52 cm
ou appuie ailleurs pour passer à la suite
À toi

Calculer un autre côté

calculatrice autorisée
À toi
Le triangle XYZ est rectangle en Y : XZ = 70 cm et XY = 42 cm.
Calcule YZ.
YXZ70 cm42 cm?
Cherche au brouillon, puis appuie pour voir la réponse.
Réponse
YZ = 56 cm
le tout
XZ² = 4900
les parties
XY² = 1764
YZ² = ?
Phrase cléJe cherche une partie : je soustrais.
Ce qu'on écrit sur la copie
Le triangle XYZ est rectangle en Y, donc d'après le théorème de Pythagore :
XZ² = XY² + YZ²
70² = 42² + YZ²
4900 = 1764 + YZ²
YZ² = 4900 − 1764
YZ² = 3136
YZ = √3136
YZ = 56 cm
Type 5 sur 5

Avec une valeur approchée

calculatrice autorisée
Exemple corrigé
Le triangle STU est rectangle en T : SU = 5,1 cm et TU = 2,6 cm.
Calcule ST. Donne une valeur approchée au dixième.
TSU5,1 cm2,6 cm?
1 · Je justifie l'angle droit  2 · Je nomme le théorème
Le triangle STU est rectangle en T, donc d'après le théorème de Pythagore :
3 · J'écris l'égalité
SU² = ST² + TU²
L'hypoténuse [SU] est en face de l'angle droit : elle est toute seule d'un côté du =.
4 · Je remplace
5,1² = ST² + 2,6²
5 · Je calcule
26,01 = ST² + 6,76
Piège ! 5,1² = 5,1 × 5,1, ce n'est pas 5,1 × 2 !
C'est une addition à trou : il manque ST².
le tout
SU² = 26,01
les parties
ST² = ?
TU² = 6,76
Phrase cléJe cherche une partie : je soustrais.
5 · Je calcule (suite)
ST² = 26,01 − 6,76
ST² = 19,25
6 · Je prends la racine carrée
ST = √19,25
√(19.25)
4.387482194
TI-Collège Plus : √ = 2nde puis x²
7 · Je conclus : j'arrondis au dixième
J'arrondis au dixième : je regarde le chiffre juste après.
0, 1, 2, 3 ou 4 → je garde.
5, 6, 7, 8 ou 9 → j'ajoute 1.
4,387482194…
Le chiffre juste après est 8 : j'ajoute 1 → 4,4
ST ≈ 4,4 cm
≈ veut dire « environ » : c'est une valeur arrondie.
Piège ! La calculatrice écrit un point ; sur la copie, on écrit une virgule.
Ce qu'on écrit sur la copie
Le triangle STU est rectangle en T, donc d'après le théorème de Pythagore :
SU² = ST² + TU²
5,1² = ST² + 2,6²
26,01 = ST² + 6,76
ST² = 26,01 − 6,76
ST² = 19,25
ST = √19,25
ST ≈ 4,4 cm
ou appuie ailleurs pour passer à la suite
À toi

Avec une valeur approchée

calculatrice autorisée
À toi
Le triangle HJK est rectangle en K : HJ = 7,4 cm et JK = 5,7 cm.
Calcule HK. Donne une valeur approchée au dixième.
KHJ7,4 cm5,7 cm?
Cherche au brouillon, puis appuie pour voir la réponse.
Réponse
HK ≈ 4,7 cm
le tout
HJ² = 54,76
les parties
HK² = ?
JK² = 32,49
Phrase cléJe cherche une partie : je soustrais.
√(22.27)
4.719110086
TI-Collège Plus : √ = 2nde puis x²
4,719110086…
Le chiffre juste après est 1 : je garde → 4,7
Ce qu'on écrit sur la copie
Le triangle HJK est rectangle en K, donc d'après le théorème de Pythagore :
HJ² = HK² + JK²
7,4² = HK² + 5,7²
54,76 = HK² + 32,49
HK² = 54,76 − 32,49
HK² = 22,27
HK = √22,27
HK ≈ 4,7 cm

C'est fini !

Bon courage pour l'évaluation.

Collège Gaston Crochet